가우스 자이델 예제

가우스-세이델 방법은 알 수 없는 x로 n 선형 방정식의 제곱 시스템을 해결하는 반복 기술입니다: 가우스-세이델 방법에 대한 요소 별 공식은 Jacobi 방법의 수식과 매우 유사합니다. 가우스-세이델 방법은 이러한 조건이 충족되지 않더라도 수렴되는 경우가 있습니다. 이 문서에서는 GFDL 라이선스에 따라 CFD-위키에 있는 가우스-세이델_메서드 문서의 텍스트를 통합합니다. 가우스-Seidel 메서드는 이제 오른쪽에 x에 대 한 이전 값을 사용 하 여 x에 대 한이 식의 왼쪽을 해결 합니다. 분석적으로, 이것은 다음과 같이 작성될 수 있습니다: 수치 선형 대수에서, Liebmann 방법 또는 연속적인 변위의 방법으로알려진 가우스-세이델 방법은 방정식의 선형 시스템을 해결하는 데 사용되는 반복 적 방법입니다. 그것은 독일의 수학자 칼 프리드리히 가우스와 필립 루드비히 폰 세이델의 이름을 따서 명명하고, 야코비 방법과 유사하다. 대각선에 0이 아닌 요소가 있는 모든 행렬에 적용할 수 있지만 행렬이 대각선으로 우세하거나 대칭 및 양수 정의인 경우에만 수렴이 보장됩니다. 그것은 단지 1823 년에 그의 학생 게링에 가우스에서 개인 편지에서 언급되었다. [1] 1874년 이전에는 세이델이 출판을 하지 않았다. Gauss-Seidel 메서드의 수렴 속성은 행렬 A. 즉, 프로시저가 수렴하는 것으로 알려져 있습니다: 요소는 이 알고리즘에서 계산될 때 덮어쓸 수 있기 때문에 하나의 저장소 벡터만 필요하고 벡터 인덱싱 생략됩니다.

알고리즘은 다음과 같습니다 : 사실, 행렬 A는 엄격하게 대각선 지배적입니다 (그러나 긍정적 인 명확한 것은 아닙니다). 더 자세히, 그들의 구성 요소에 A, x 및 b를 작성: 이제 우리는 T {디스플레이 스타일 T_{{{{}}}와 C {디스플레이 스타일 C_{{{{}}}를 가지고 있으며, 우리는 벡터 x {디스플레이 스타일 mathbf {x} }를 얻기 위해 사용할 수 있습니다. 얻은 근사치를 사용하여 원하는 정확도에 도달할 때까지 반복 절차가 반복됩니다. 다음은 네 번의 반복 후에 대략적인 솔루션입니다. 수렴을 테스트하면 알고리즘이 서로 다르다는 것을 알 수 있습니다. 실제로 행렬 A는 대각선으로 지배하거나 양수 명확하지 않습니다. 그런 다음 정확한 솔루션에 대한 수렴 {디스플레이 스타일 A_{{{{}}}를 아래쪽 삼각형 구성 요소 L {디스플레이 스타일 L{{*}}의 합으로 분해해야 하며 엄격한 상부 삼각형 구성 요소 U {{}{{{}}}를 분해해야 합니다. 각 요소에 대한 계산은 병렬로 수행할 수 없습니다.

또한 각 반복의 값은 원래 방정식의 순서에 따라 달라집니다. . 보장되지 않으며, 이 경우 발생하지 않습니다. 우선, 우리는 x를 선택해야합니다 ( 0) {디스플레이 스타일 mathbf {x} ^{(0)}} : 우리는 단지 추측 할 수 있습니다. 추측이 좋을수록 알고리즘이 더 빨리 수행됩니다. . 그러나 L의 삼각형 형태를 활용함으로써 {displaystyle L_{}}, x(k+1)의 요소는 순차적으로 정방향 대체를 사용하여 계산할 수 있습니다: A를 하부 삼각형 구성요소로 분해하고 엄격하게 상부 삼각형으로 분해합니다. 구성 요소는 에 의해 주어진다 : x 1 , x 2 , x 3 {디스플레이 스타일 x_{1}, x_{2}, x_{3}} 및 x 4 {디스플레이 스타일 x_{4}}에 대해 해결하면 됩니다.